Nullsummenspeel
In de Speeltheorie is en Nullsummenspeel en Situatschoon, in de een Speler akraat dat winnt oder verleert, wat de annern Spelers verleert oder winnt. De Naam meent: wenn een all dat tosammentellt, wat de Spelers winnt oder verleert, kummt 0 dorbi rut. Bispelen dorför sünd Schach oder Go: dat is nich mööglich, dat alle twee Spelers to de glieke Tiet winnt.
'N beten allgemeener sünd Kunstantsummenspelen: wat de Spelers tosammen winnt oder verleert, is jümmers kunstant. En Bispill dorför is dat Opdelen vun en Koken: all tosamen kriegt een Koken. Wenn de een mehr kriggt, kriegt de annern weniger.
En Kunstantsummenspeel kann een jümmers in en Nullsummenspeel ümwanneln. Dorför mutt een blots de Winnfunkschoon anpassen: Wenn dat t.B. bi en Schachpartie för den Winner 1 Punkt un vör den Verlerer 0 Pünkt gifft, dann is dat en Kunstantsummenspeel mit de Summ 1. Aber wenn dat 1 Punkt för den Winner un -1 Punkt för den Verlerer gifft, dann is dat en Nullsummenspeel.
1944 hebbt John von Neumann un Oskar Morgenstern bewiest, dat
- een en Nullsummenspeel för n Spelers jümmers ok as en Nullsummenspeel för twee Spelers utdrücken kann un dat
- een en nich-Nullsummenspeel för n Spelers jümmers as en Nullsummenspeel för n +1 Spelers utdrücken kann. Disse ene Speler repräsenteert den globalen Winnst oder Verlust vun de n Spelers. Oder anners formuleert: de n+1-ste Speler is de Bank un all de Spelers tosamen mit de Bank winnt oder verleert nix, dat Geld warrt blots twischen de Spelers un de Bank verschaven.
Dat heet, dat Nullsummenspeel för twee Spelers is de Karn vun de Speeltheorie.
En Bispill
ännern| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | 30, -30 | -10, 10 | 20, -20 |
| 2 | 10, -10 | 20, -20 | -20, 20 |
De Uttahlmatrix is en gode Oort, en Speel optoschrieven. Kiek di t.B. dat Nullsummenspeel för twee Spelers an den rechten Rand an.
Dit Speel löppt so: de eerste Speler (Root) söökt sich heemlich een vun de twee Akschonen (1 oder 2) ut. De tweete Speler (Blau), de de Utwahl vun den eersten Speler nich kennt, söökt sik heemlich een vun de dree Akschonen A, B oder C ut. Denn warrt de Utwahlen opdeckt un jedeen Speler kriggt denn so vele Punkten dorto oder aftrocken as in de Matrik steiht.
'Bispill: Root söökt sik de Akschoon 2 ut un Blau söökt sik de Akschoon B ut. Dat heet, Root winnt 20 Punkten dorto un Blau verleert 20 Punkten.
In dit Speel kennt beide Spelers de Uttahlmatrix un köönt nu versöken, jemehr Punkten to maximeren. Woans köönt se dat doon?
Root kann sik dat so överleggen: "Mit de Akschoon 2 kann ik betto 20 Punkten verleren un ok bloots 20 winnen. Aber mit de Akschoon 1 kann ik bloots 10 verleren aber betto 30 winnen. Dat heet, Akschoon 1 süht beter ut.". Op lieke Oort kann sich Blau överleggen, dat de Akschoon C för em goot is. Wenn beide Spelers dat so makkt, winnt Root 20 Punkten. Aber wat passeert, wenn Blau sik dat vörher överleggt, dat Root mit de Akschoon 1 goot wegkummt un denn de Akschoon B utwählt un so 10 Punkten winnt? Oder wat passeert, wenn Root dissen Trick vörher süht un de Akschoon 2 utwählt un denn 20 Punkten winnt?
John von Neumann hett dorto de fundamentale un överraschende Insicht hett, dat Wohrschienlichkeit en Weg is, dor ruttokamen. Dat heet, de twee Spelers leggt sik nich vörher fast, wat se maakt. Ne, se leggt Wohrschienlichkeiten fast, de se to de mööglichen Akschonen towiest un denn maakt se mit dissen Wohrschienlichkeiten tofällig een vun jemehr Akschonen. Dörför köönt se t.B. en Wörpel bruken. Jedeen Speler kann sik denn de Wohrschienlichkeiten so utreken, dat se den maximal erwarteten (Platt??) Punktverlust unafhängig vun de Stategie vun den Gegenspeler mimimeert. Disse Methood warrt Minimaxmethood nöömt.
För dat Bispill suert dorbi rut, dat Root de Akschoon 1 mit de Wohrschienlichkeit vun 57% un de Akschoon 2 mit 43% wählen schall un Blau kann för de dree Akschonen A, B un C de Wohrschienlickeiten 0%, 57% un 43% nehmen. Root winnt den dörsnittlich 2,85 Punkten je Speel.