Koppel (Mathematik)

De Koppel is een vun de wichtigste Konzepte vun de Mathematik. De Koppenkünn faat enkelte Liddmaten (Elementen) to 'n Koppel tosamen. De Elementen köönt t.B. Tallen, Lüüd, Bookstaven etc. ween. En Koppel kann ok leddig ween (leddige Koppel).

De Mathematikers hebbt de Koppelkünn to't Enn vun dat 19. Johrhunnert utklamüüstert, un de warrt in de Mathematik nu so veel bruukt, dat se al op de Grundschool ünnerricht warrt. Se is sotoseggen, de Spraak in de de moderne Mathematik verkloort warrt.

DefinitionÄnnern

Georg Cantor häff de Koppelkunn populariseert un folgen Definition vörschlån:

Unner een Koppel vörstait sik een Tohaupefatten van bestemte wuolunnerschaidene Objekte van us Anschauen oer Denken to een Heel.

Richard Dedekind hett de Koppel so verkloort: De Koppel is so as 'n Sack, wo welke Saken (de Elementen vun de Koppel) binnen sünd. Dit Bild helpt to verstahn, wat 'n leddige Koppel is: dat is nich "nix", man dat is 'n leddigen Sack, wo nix binnen is.

Angaav van KoppelsÄnnern

Döör OptellenÄnnern

Endlike Koppels låt sik (besünners, wan der nich veel Elemente binnen sünd) döör Optellen vun jümehr Elemente opskrieven.

Bispeel:  . Bi dat Optellen vun de Elemente is dat goot, en "natürliche" Reeg vun de Elemente to bruken, t.B. de alphabetische Reeg. Dat kann een beter lesen. Man för de Koppel sülvst is de Reeg vun jümehr Elementen eendoont. Dat is dorbi nich begäng, Elementen mehr as eenmal optoschrieven. De Koppel warrt dör de Elemente defineert, de in ehr binnen sünd, un dat ännert nix an de Koppel, wenn en Element tweemal opschreven warrt oder wenn twee Elemente tuuscht warrt:  .

Döör wöördlik BeskrievenÄnnern

Dat is ok möglich, 'n Koppel mit Wöör to beschrieven, t.B.

  wees de Koppel woneem de eersten veer positiven helen Tallen binnen sünd.
  wees de Koppel van de dree Klören uut de franzööske Flagg.

Döör mathematische NotatschoonÄnnern

Bi graute Koppels met veel Lidmaten is dat nich goot mööglik, denn Inholl van de Koppel kumplet optoskrieven. T.B. düert dat lang,   uuttoskrieven un derto duurt dat ok lang, dat to lesen. Un so skrievt de Mathematikers dat denn ok nich ut, man se bruukt 'n Afkörten:

 

Dat hait, de List lett sik afkörten, wenn de Elementen to 'n Munster passt, dat de Leser ok glieks rutfinnen kann. De List warrt dann mit dat Symbol   afkört. Man een mutt dann oppassen, so vele Elementen optoschrieven, dat dat Munster ok kloor is. Een Bispill:

 

Hier gifft dat twee Mööglichkeiten, dat to verstån. Dat kann de Koppel vun de eersten 16 natüürliken Tallen ween, mär ok de Koppel vun de eersten 5 Potenzen vun de 2, düs  .

Dit System funktscheneert ok blots dann, wenn dat Munster licht ruttofinnen is, t.B. hett de Koppel

 

ok 'n System, man dat is nich glieks kloor, wat dat is:

 

För sükke Fälle hebbt de Mathematikers 'n spezielle Skrievwies:

 

In disse Skrievwies hait de Streek   so dat oar woneem. Faak warrt der ok   för brukt. De Mathematikers leest dat dann so:

  is de Koppel vun Tallen mit de Form  , woneem   'n natürlike Tall grötter 0, minner 19 is.

Dårmet gifft't de kumplette List vun de Lidmaten, wenn een in den Utdruck   för   alle (natürliken) Tallen vun 0 bet 19 insetten doot.

SchrievwiesenÄnnern

Låt   un   Koppels ween un   een Objekt (t.B. een Tall, een Vektor, oar een annere Koppel).

  • Een skrievt  , as   een Lidmat van   is un   as nich.
  •   is een Deelkoppel van   un een doot   skrieven, as elk Lidmat van   ok een Lidmat van   is. Mathematisk uutdrückt is   een Deelkoppel van   as de Uutsäg   gill.
  • Een nöömt   un   liek un skrievt  , wan se desülvigen Lidmaten beinhollen. Düt is äquivalent to  . Dat achtere is in de Praxis faken eenfakker to wiesen.
  • Is  , mär  , warrt   een propper Deelkoppel van   nöömt, wat een met   noteern kann. (Waarschau: Een draf   un   nich döörnannerbrängen!)

KoppelkonstruktionenÄnnern

 
Mengselkoppel  
 
Snibkoppel  
 
Koppel van'n Ünnerschaid  : „A sünner B
 
Symmetrisken Ünnerschaid  
 
Kumpelment   in  

Låt   un   Koppels ween.

UutsünnernÄnnern

Is   een Eegenschop, so winnt een döör Uutsünner de Koppel

 

MengselÄnnern

De Koppel van't Mengsel van   un   is geaven döör

 

SnibÄnnern

De Snibkoppel van twee Koppels is defineert as

 

ÜnnerschaidÄnnern

De Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

 

Uutsproken warrt dat A sünner B.

Symmetrisken ÜnnerschaidÄnnern

De symmetrske Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

 

KumelmentÄnnern

Faak is een Koppel   een Deelkoppel van een Overkoppel  . Wann uut denn Kontext klår is, in wekke Overkoppel   leevt, is dat Kumpelment

 

de Koppel van alle Lidmaten van  , wel nich in   to finnen sint. För dat Kumpelment gifft dat de alternative Schrievwiese  .

Kartees'sk ProduktÄnnern

Sint   und   Objekten, so warrt dat arrangsjeert Paar van   un   met   betekent. Et is düs   akkråt dann, wann   un  . Dat kartees'ske Produkt van twee Koppels is defineert as de Koppel

 

Op desülve Maneer defineert een dat Tripel   un gans allgemeen  -Tupel   för een belaivig  . Skrieven warrt dat dann ok as

 

Is   för alle  , so skrievt een   an Stiär van  .

PotenskoppelÄnnern

De Koppel van alle Deelkoppels van   hait de Potenskoppel van  . Se warrt met   betekent.

BispellenÄnnern

  •   betekent de lüerige Koppel
  •   betekent de Koppel van de natürliken Tallen,   de Koppel van de helen Tallen,   de Koppel van de broaken Tallen,   de Koppel van de reellen Tallen un   de Koppel van de komplexen Tallen. Et is
 
  • Dat is wichtig,   un   nich döörnanner to bringen. So is t.B.   nich lüerig (de beinhollt denn eenigen Lidmat  ), un de Koppel   häff mär een Lidmat (nöömlik  ), tiedens   sünnerennlik is.
  •   un  
  •   un